Du bekommst exakte Lösungen, wo es sie gibt, etwa (−3 ± √17)/4 oder 1 ± 2i, und den Rechenweg in einfacher Sprache: Mitternachtsformel, rationale Nullstellen, Zeilenumformungen oder Newton-Verfahren. Kostenlos und privat, mit Rechenweg Schritt für Schritt.
So löst du eine Gleichung
- Gib eine Gleichung oder ein Gleichungssystem mit einer Gleichung pro Zeile in „Gleichung oder System“ ein. „Beispiel ausprobieren“ lädt ein Beispiel.
- Lege unter „Optionen“ den Bereich für „Dezimalzahlen suchen von“ und „bis“ fest und wähle, ob „Winkel in Grad“ gelten soll.
- Drück „Lösen“.
- Lies die Lösungen und den Rechenweg. Mit „Rechenweg kopieren“ nimmst du ihn mit.
Was du lösen kannst
Lineare Gleichungen wie 3(x − 1) = 2x + 4, quadratische, kubische Gleichungen und Polynome bis Grad 24, mit reellen und komplexen Nullstellen. Lineare Gleichungssysteme mit zwei bis sechs Unbekannten, eine Gleichung pro Zeile. Und Gleichungen mit einer Unbekannten und Funktionen, etwa cos(x) = x oder x^2 = 2^x, die auf etwa zwölf signifikante Stellen gelöst werden.
So entsteht der Rechenweg
Lineare Gleichungen werden Schritt für Schritt umgeformt. Quadratische Gleichungen nutzen die Formel, mit angezeigter Diskriminante und vereinfachten Wurzeln, sodass du siehst, wie aus √8 dann 2√2 wird. Bei kubischen und höheren Gleichungen testet der Löser jede mögliche rationale Nullstelle p/q, dividiert jede gefundene heraus und schließt, wenn möglich, mit der Mitternachtsformel ab. Systeme werden als erweiterte Matrix geschrieben, mit Zeilenumformungen in exakten Brüchen reduziert und dann durch Einsetzen geprüft.
Wenn die Lösung eine Dezimalzahl ist
Manche Nullstellen haben keine schöne exakte Form, etwa die reelle Lösung von x³ = 2. Diese werden numerisch bestimmt und mit ≈ markiert. Gleichungen mit sin, log oder Wurzeln werden zwischen den beiden Suchgrenzen auf Vorzeichenwechsel abgesucht, dann wird jede Nullstelle mit dem Newton-Verfahren genau bestimmt. Springt ein Schritt zu weit, wird stattdessen das Intervall halbiert. Wenn du eine Nullstelle außerhalb des Bereichs erwartest, erweitere ihn. Alles läuft in deinem Browser, und nichts, was du eingibst, wird irgendwohin gesendet.
Tipps zur Eingabe von Gleichungen
- Nutze
^für Potenzen, etwax^2, und Klammern, um die Reihenfolge klarzustellen. - Schreib bei Systemen eine Gleichung pro Zeile und verwende für die Unbekannten dieselben Buchstaben.
- Prüfe die Winkeleinstellung, bevor du etwas mit sin, cos oder tan löst.
- Prüfe eine Lösung, indem du sie in die ursprüngliche Gleichung einsetzt.
Für wen
Für Schüler, die Hausaufgaben prüfen und die Schritte lernen, Eltern, die bei Mathe helfen, und Handwerker oder Hobbybastler, die schnell eine Antwort brauchen. Um eine Gleichung als Bild zu sehen, nutze den Funktionsplotter. Für Brüche probier den Bruchrechner.
Fragen
Warum bekomme ich komplexe Lösungen?
Manche Gleichungen haben keine reelle Lösung, und die Ergebnisse enthalten i, die Wurzel aus minus eins. In vielen Kursen wird das bei quadratischen Gleichungen mit negativer Diskriminante erwartet.
Kann es jede Gleichung lösen?
Nein. Es löst Polynome, lineare Gleichungssysteme und Gleichungen mit einer Unbekannten und gängigen Funktionen. Nichtlineare Gleichungen mit mehreren Unbekannten werden nicht unterstützt.
Wie genau ist es?
Exakte Lösungen werden angezeigt, wo es sie gibt. Numerische Lösungen werden auf etwa zwölf signifikante Stellen berechnet.